Alianza, 1986. 200 páginas.
Tit. or Proofs and refutations. Trad. Carlos Solís.

A partir del teorema de Euler para los poliedros explicado en una clase imaginaria el profesor va recibiendo diferentes contra ejemplos, refutaciones, podificaciones de teoremas y vamos descubriendo que las verdades matemáticas no son tan puras ni tan incontrovertibles como nos imaginamos.

Siempre he dicho que se aprende más leyendo este libro que en un curso entero de epistemología de la ciencia. Los ejemplos están muy bien escogidos, se dedica a diseccionar el teorema atendiendo a su propia evolución histórica, pero introduciendo y adaptando situaciones de otras disciplinas como el análisis diferencial.

Tenemos una idea muy equivocada de cómo se va construyendo la ciencia, que como todas las actividades es humana y no siempre va en línea recta. Lo que no quita para que tenga que tener una validez universal, como también se muestra en el libro cuando se enuncia un teorema final que abarca todos los casos presentados.

Imprescindible.

MAESTRO: En realidad, tengo una que consta del siguiente experimento mental. Paso 1: imaginemos que el poliedro está hueco, con una superficie hecha de goma fina. Si recortamos una de las caras, podemos estirar la superficie restante, poniéndola plana sobre el encerado sin romperla. Las caras y aristas se deformarán, las aristas pueden hacerse curvas, pero V y A no se alterarán, de modo que si V – A + C = 2 en el poliedro original, en esta red plana tendremos que V – A + C = 1 (recuérdese que hemos eliminado una cara). (La Fig. 1 muestra la red plana en el caso de un cubo.) Paso 2: Triangulemos ahora nuestro mapa, pues en realidad se asemeja a un mapa geográfico. Trazamos diagonales (tal vez curvilíneas) en esos polígonos (quizá curvilíneos) que no son ya triángulos (posiblemente curvilíneos). Al dibujar cada una de las diagonales, aumentamos tanto A como C en uno, de modo que el total de V – A + C no variará (fig. 2). Paso 3: Eliminamos ahora los triángulos, uno a uno, de la red triangulada. Para eliminar un triángulo o eliminamos una arista, con lo que desaparece una cara y una arista (fig. 3(a)), o eliminamos dos aristas y un vértice, con lo que desaparece una cara, dos aristas y un vértice (fig. 3(b)). Así pues, si antes de la eliminación de un triángulo teníamos que V – A + C = 1, después de eliminarlo seguirá siendo así. Al final de este proceso obtenemos un solo triángulo, en cuyo caso V – A + C = 1 es verdad. Por tanto, hemos probado nuestra conjetura
ALUMNO DELTA: En ese caso, debería usted llamarla teorema, puesto que ya no hay en ella nada conjetural[14].
ALUMNO ALFA: Me extraña. Veo que este experimento puede realizarse con un cubo o un tetraedro, mas ¿cómo voy a saber que también se puede realizar con cualquier poliedro? Por ejemplo, ¿está usted seguro, Señor, de que cualquier poliedro se puede estirar poniéndolo plano sobre el encerado, tras haberle quitado una cara? Tengo mis dudas acerca de su primer paso.
ALUMNO BETA: ¿Está usted seguro de que al triangular el mapa se obtendrá siempre una nueva cara por cada nueva arista? Tengo mis dudas sobre su segundo paso.
ALUMNO GAMMA: ¿Está usted seguro de que sólo hay dos alternativas (la desaparición de una arista o de dos aristas y un vértice) al eliminar los triángulos uno a uno? ¿Está usted seguro incluso de que nos quedamos con un solo triángulo al final del proceso? Tengo mis dudas sobre su tercer paso[15].
MAESTRO: Por supuesto que no estoy seguro.
ALFA: ¡En ese caso estamos peor que al principio! ¡En lugar de una conjetura tenemos ahora tres como mínimo! ¿A eso llama usted una «prueba»?
MAESTRO: Admito que pueda ser un tanto confundente aplicar a este experimento mental el nombre tradicional de «prueba», pues no considero que establezca la verdad de la conjetura.
DELTA: ¿Qué es lo que hace entonces? ¿Qué cree usted que prueba una prueba matemática?
MAESTRO: He ahí una sutil pregunta que trataremos de responder más tarde. Mientras tanto, propongo que mantengamos el venerable término técnico «prueba» para aplicarlo a un experimento mental (o «cuasi-experimento») que sugiera una descomposición de la conjetura original en subconjeturas o lemas, incorporándola así a un cuerpo de conocimiento tal vez muy lejano. Nuestra «prueba», por ejemplo, ha incorporado la conjetura original (relativa a cristales o, digamos, sólidos) a la teoría de las hojas de goma. Descartes o Euler, los padres de la conjetura original, ni siquiera soñaron esto, con toda certeza