…compró los Elementos de Euclides, un libro con 23 siglos de edad…
Lo metía en su cartera cuando salía de campaña. De noche… leía a
Euclides a la luz de una vela, después que los otros se retiraban a
dormir. Se ha dicho que el estilo en prosa de Lincoln fue influido y enriquecido por su estudio de Shakespeare y de la Biblia. También es obvio que muchos de sus argumentos políticos reflejan el desarrollo lógico de una proposición euclidiana.

Y Bertrand Russell (1872-1970) recuerda con gran cariño los Elementos. En su autobiografía, Russell escribió este recuerdo memorable:

A la edad de 11 años, empecé a leer a Euclides, con la guía de mi
hermano. Éste fue uno de los grandes acontecimientos de mi vida,
tan deslumbrante como el primer amor.

Al considerar los Elementos en este capítulo y en el siguiente, deberíamos tener presente que caminamos por senderos que ya han pisado muchos otros. Sólo unas cuantas obras muy clásicas (me vienen a la mente La ¡liada y La Odisea) comparten esta herencia. Las proposiciones que vamos a examinar han sido estudiadas por Arquímedes y Cicerón, por Newton y Leibniz, por Napoleón y Lincoln. Es un poco presuntuoso situarse en esta larguísima fila de estudiosos.

La gran genialidad de Euclides no consistió tanto en crear unas matemáticas nuevas sino en presentar las antiguas de una manera completamente clara, organizada y lógica, lo cual no es logro pequeño-Es importante reconocer que los Elementos son algo más que meros teoremas matemáticos y sus demostraciones. Después de todo, matemáticos anteriores, como Tales, habían demostrado algunas proposiciones. Euclides nos proporcionó un desarrollo axiomático espléndido del tema, y esto constituye una diferencia crítica. Comienza el libro de los Elementos con unas cuantas cosas básicas: 23 definiciones, 5 postulados y 5 nociones comunes o axiomas generales. Éstos son los fundamentos, las cosas «dadas», de su sistema. A partir de ahí, Euclides puede usarlos en el momento que quiera. A partir de estos fundamentos, demuestra su primera proposición. Con este respaldo, puede, a continuación, mezclar sus definiciones, postulados y nociones comunes, y convertir esta primera proposición en demostración de la segunda, y así sucesivamente.

En consecuencia, Euclides no suministró propiamente demostraciones, sino que las dio dentro de este marco axiomático. Las ventajas de este desarrollo son importantes. En primer lugar, evita caer en un razonamiento circular. Cada proposición tiena una sucesión de precedentes claros e inequívocos que conducen a los axiomas originales. Los que están familiarizados con las computadoras podrían incluso trazar un diagrama de flujo que indicara los resultados que demuestran un teorema dado. Este planteamiento es muy superior a «enfrascarse» en la demostración de una proposición, ya que en este caso nunca está claro qué resultados previos se pueden usar y cuáles no. El gran peligro de empezar por la mitad, como en este caso, es que para demostrar el teorema A sería necesario utilizar el resultado B, que, a su vez, quizá no se pueda demostrar sin recurrir al propio teorema A. Esto da lugar a un argumento circular, equivalente lógico de la pescadilla que se muerde la cola, lo que, en matemáticas no conduce ciertamente a nada bueno.

Pero el esquema axiomático tiene otra ventaja. Como podemos claramente escoger los antecedentes de una proposición, detectamos inmediatamente lo que ocurre si se altera o elimina uno de nuestros Postulados básicos. Si, por ejemplo, hemos demostrado el teorema A S1n usar nunca el postulado C, o bien un resultado previamente demostrado por medio del postulado C, entonces estamos seguros de que nuestro teorema A permanece válido aun cuando se rechace el Postulado C. Aunque pueda parecer un tanto esotérico, el tema surgió Precisamente a propósito del controvertido quinto postulado de Euclides y ha conducido a uno de los debates más largos y profundos en la historia de las matemáticas. Este tema se examina en el epílogo del Presente capítulo.