Editorial Tusquets (Metatemas), 2008. 322 páginas.
Tit. Or. The Poincaré conjecture. In search of the shape of the universe. Trad. Ambrosio García Leal.

En busca de la forma del universo

Los libros que hablan de teoremas matemáticos finalmente demostrados tienen un encanto especial. Como en una novela de detectives, se muestran las pistas que han ido apareciendo a lo largo de los años -o siglos- y que culminan en un final feliz. El asesino es descubierto para satisfacción del lector que sabe, desde Gödel, que no siempre se puede demostrar su culpabilidad. Se ha escrito mucho acerca del último teorema de Fermat, pero la conjetura de Poincaré también tiene aspectos muy interesantes.

La historia comienza y acaba con la geometría del universo. Para los griegos sólo existía una geometría: la plana. Los postulados de Euclides son claros al respecto. Desde un punto exterior a una recta sólo se puede trazar una paralela. El famoso quinto postulado siempre pareció poco intuitivo y legiones de matemáticos intentaron demostrar que podía derivarse de los otros cuatro. Sin éxito.

Hasta que se empezaron a hacer curiosos experimentos. ¿Qué pasaría si se cambiara el quinto postulado permitiendo infinitas paralelas, o ninguna? El resultado era una geometría extraña, pero coherente. Lobachevsky, Bolyai y Gauss publicaron sus investigaciones dando credibilidad a las nuevas geometrías.

Pero lo mejor estaba por llegar. Riemann separó espacio y geometría generalizandola hasta límites insospechados. Con el concepto de métrica desarrolló la geometría riemanniana, siendo las geometrías anteriores casos particulares de ésta. Los logros de este matemático en diferentes áreas son sorprendentes, y sus contribuciones abrieron campos que son pilares de las matemáticas modernas.

Los tipos de geometrías que surgieron pueden parecer exóticos -que algunos tengan infinitas dimensiones no es lo más raro- pero lo realmente extraño es la característica esencial de la matemática. No importa lo alejado de la realidad que sea un teorema, los físicos siempre encontrarán la manera de encontrarle una utilidad. En este caso es la teoría de la relatividad la que usa los tensores de Riemann.

Poincaré realizó algunos trabajos que anticiparían la teoría de la relatividad. Además fue un científico muy conocido en su tiempo por el gran público, como también lo sería Einstein. Fue también un genio matemático que creo de la nada la topología algebráica, dando trabajo a futuras generaciones de matemáticos.

Y aquí llegamos al meollo del libro, la famosa conjetura de Poincaré. Hasta leer este libro no me había quedado muy claro de qué iba la cosa. Mi formación matemática es limitada. Pero tras la lectura la conjetura me ha quedado un poco más clara. No sé si sabré expresarlo con claridad, pero lo intentaré.

La superficie de una esfera se puede transformar -estirando- en la de cualquier otra y también en la de un cilindro -aunque haya que doblarla. A esto se le llama homeomorfismo. Si nosotros ponemos una goma cerrada en la superficie de una esfera la podemos contraer hasta un punto. Esto no siempre lo podemos hacer, por ejemplo en una rosquilla -toro en matemáticas. Pues bien, en superficies de dos dimensiones si nosotros podemos poner una goma en la superficie y reducirla a un punto, siempre podemos transformar esa superficie en una esfera -son homeomorfas. La pregunta es ¿Pasa lo mismo para superficies de tres dimensiones? No intenten visualizarlo en casa.

La respuesta no era sencilla y su utilidad radica en que nos explicará muchas cosas acerca de la forma que puede tener nuestro universo. Su resolución también ha sido curiosa. Lo ha demostrado Grigori Perelman, un matemático que vive aislado del mundo y que incluso ha rechazado la medalla Fields -el Nobel de las matemáticas, que incluye un premio en metálico- y que no asiste a congresos. Todo un personaje, que afirma:

[el premio] era completamente irrelevante para mí. Todo el mundo entiende que si la demostración es correcta entonces no se necesita ningún otro reconocimiento.

Un libro que te atrapa como los mejores super ventas. La explicación del aparato matemático es fácilmente entendible hasta por los profanos como yo, las semblanzas de los matemáticos nos situan en el contexto y se lee como si de una novela se tratara. Con un final feliz; ahora conocemos más acerca de nuestro universo.

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Pero Gauss no iba a publicar algo así. Aunque mundialmente famoso y bien relacionado, mantenía una suerte de aislamiento voluntario. Conservador, consciente de su buena fortuna y siempre un tanto desconfiado de la firmeza de su posición, siempre tuvo especial cuidado de no ofender a quienes tenían poder sobre él. La relación de Gauss con su padre era escasa. Su primera mujer había muerto de parto en 1808, apenas tres años después de su boda, al dar a luz su tercer hijo. Gauss se casó con su mejor amiga, con la que tuvo otros tres hijos, pero ese segundo matrimonio nunca fue tan afectuoso como el primero. Su relación con sus hijos era complicada. Parecía distante, un tanto solitario, y tenía pocos amigos. Incluso el célebre explorador y hombre de Estado alemán Alexander von Humboldt, que tenía relaciones muy cordiales con numerosos matemáticos, caracterizó a Gauss como un personaje glacial.

Setenta años después, en la sala de conferencias de la Academia de la Ciencia hubo un casi palpable estremecimiento cuando la voz clara y poderosa de Hilbert puso fin a su arenga con lo que iba a convertirse en su epigrama: Wir müssen wissen, wir werden wissen (Debemos saber, y sabremos). Todos conocían la cita y pudieron escucharla con la pasión de su autor. A nadie se le escapaba la doble ironía. Konigsberg quedó totalmente destruida durante la guerra, y luego cayó en poder de los soviéticos. Y unos cuantos meses después del discurso de Hilbert, Kurt Gódel demostró que era imposible encontrar un sistema de axiomas lógicos suficiente para establecer cualquier resultado concebible en teoría de números sin llegar a una contradicción de algún tipo. La lógica sí tenía límites.