Tecnos, 2008. 140 páginas.
Tit. or. Gödel’s proof. Trad. Adolfo Martin.

Libro sobre el teorema de incompletitud de Gödel, que de un plumazo destruyó las ilusiones de los matemáticos de tener un sistema robusto y completo. La mayor parte del libro nos pone en contexto, solo los dos últimos capítulos nos hablan de la prueba propiamente dicha, que es relativamente fácil de expresar pero muy difícil de entender en su formulación teórica.

El sueño de muchos matemáticos era disponer de un sistema de axiomas y reglas de inferencias que, por un lado, permitieran demostrar el conocimiento actual de las matemáticas o de una parte importante de ellas y que, por el otro lado, fuera completo. Es decir, que todas las afirmaciones verdaderas pudieran demostrarse y que no tuviera contradicciones. Gödel probó que cualquier sistema lo suficientemente potente como para dar cuenta de la aritmética general sería incompleto. Es decir, tendría teoremas verdaderos que no podrían ser demostrados dentro del sistema.

Demostró que esa falla es inherente a cualquier sistema que podamos construir, por lo que es imposible poner parches que solucionen el problema. Todos tendrán esa falla fundamental, no importa lo hábiles que seamos al construirlos. Un bombazo en toda regla.

El libro es bastante divulgativo, sobre todo en la parte del estado de las matemáticas antes de Gödel, el por qué es un problema importante, y los diferentes enfoques que se habían intentado para dar respuesta a la pregunta.

Muy bueno.

cia en la distinción entre un cálculo formal y su descripción. Concretamente, trató de desarrollar un método que produjera demostraciones de consistencia tan ajenas a una auténtica duda lógica como el uso de modelos finitos para demostrar la consistencia de ciertos conjuntos de postulados, y ello mediante el análisis de un número finito de características estructurales de las expresiones contenidas en cálculos completamente formalizados. El análisis consiste en anotar los diversos tipos de signos que se dan en un cálculo, indicar cómo combinarlos en fórmulas, prescribir cómo pueden obtenerse nuevas fórmulas a partir de otras y determinar si fórmulas de una determinada clase pueden derivarse de otras mediante reglas operativas explícitamente enunciadas. Hilbert creía posible presentar cualquier cálculo matemático como una especie de esquema «geométrico» de fórmulas, en el que las fórmulas se relacionaran mutuamente en número finito de relaciones estructurales. Esperaba, por consiguiente, demostrar, examinando exhaustivamente estas propiedades estructurales de las expresiones encerradas en un sistema, que no pueden obtenerse fórmulas formalmente contradictorias a partir de los axiomas de cálculos dados. Requisito esencial del programa de Hilbert en su primitiva concepción era que las demostraciones de consistencia implicaran únicamente procedimientos que no hicieran referencia ni a un número infinito de propiedades estructurales de fórmulas ni a un número infinito de operaciones con fórmulas. Tales procedimientos son denominados «finitistas», y una prueba de consistencia que se halle en adecuación a dicho requisito recibe el nombre de «absoluta». Una prueba «absoluta» logra
sus objetivos utilizando un mínimo de principios de deducción y no presupone la consistencia de ningún otro conjunto de axiomas. Una prueba absoluta de la consistencia de la aritmética, si pudiera construirse alguna, demostraría, pues, mediante un procedimiento metamatemático finitista, que dos fórmulas contradictorias, tales como ‘0 = 0’ y su negación formal (0 = 0)’—en la que el signo significa «no»—, no
pueden derivarse de los axiomas (o fórmulas iniciales) mediante reglas explícitamente enunciadas .Puede resultar útil, por vía de ejemplo, comparar las metamatemáticas como teoría de la demostración con la teoría del ajedrez. El ajedrez se juega con 32 piezas de una forma determinada sobre un tablero cuadrado que contiene 64 subdivisiones cuadradas, en el que se pueden mover las piezas conforme a unas reglas establecidas. Evidentemente, el juego puede desarrollarse sin atribuir ninguna ((interpretación» a las piezas ni a sus diversas posiciones sobre el tablero, si bien podría introducirse tal interpretación si así se deseara. Podemos estipular, por ejemplo, que un determinado peón representa a cierto regimiento de un ejército, que un • escaque determinado figura ser una cierta región geográfica, etc.